Zahlensysteme zur Digitalisierung: Dual -und Hexadezimalsystem
Bei der Speicherung von Daten gibt es zwei Zustände: Spannung bzw. keine Spannung. Das zugehörige Zahlensystem (das Dualsystem oder Binärsystem) hat die Basis 2 und kennt nur zwei Zahlen: 0 oder 1. Da die Stellenzahl stark zunimmt werden je 8 Bits zu einem Byte zusammengefasst.
Dualsystem:
Beispiel: Die Ziffernfolge $[1101]_2 $ stellt im Dualsystem die Zahl 13 dar:
$[1101]_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 +1 =[13]_{10}$
im Zehnersystem:
$[1101]_{10} = 1 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 = 1000 + 100 +1 $.
Gibt es 8 bit Stellen, so sind $2^8 = 256 $ verschiedene Zahlen so darstellbar.
Stellenwert (als 2er Potenz): | $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
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Stellenwert (Dezimal): | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Beispiel: | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Beispiel: | 128 | 0 | 32 | 16 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Es gilt: $[10110001]_2 = 128+32+16+1 = 177_{10}$
Hexadezimalsystem:
Eine andere gebräuchliche Darstellung ist das Hezadezimalsystem (16er System):
Hier werden immer 4 Bits zusammengefasst; es gibt $2^4 = 16$ Möglichkeiten.
Die Ziffern des Hexadezimalsystems sind:
Dual | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
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Dezimal: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Hexadezimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Beispiel: $[10110001]_2 = [1011\quad 0001]_2=\qquad11_{10} \quad 1_{10}\qquad= \qquad B_{16}\quad 1_{16}\qquad= B1_{16}$
Übungen:
1. Aufgabe: Wandele folgende Dual-Zahlen in das Dezimal- und Hexadezimal-System um:
- 1001 0101
- 0010 0110
- 0111 0010
2. Aufgabe: Wandele folgende Hexadezimal-Zahlen in das Dezimal- und Dualsystem um:
- E2
- AF
- 14