Zahlensysteme zur Digitalisierung: Dual -und Hexadezimalsystem

Bei der Speicherung von Daten gibt es zwei Zustände: Spannung bzw. keine Spannung. Das zugehörige Zahlensystem (das Dualsystem oder Binärsystem) hat die Basis 2 und kennt nur zwei Zahlen: 0 oder 1. Da die Stellenzahl stark zunimmt werden je 8 Bits zu einem Byte zusammengefasst.

Dualsystem:

Beispiel: Die Ziffernfolge $[1101]_2 $ stellt im Dualsystem die Zahl 13 dar:

$[1101]_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 +1 =[13]_{10}$

im Zehnersystem:

$[1101]_{10} = 1 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 = 1000 + 100 +1 $.

Gibt es 8 bit Stellen, so sind $2^8 = 256 $ verschiedene Zahlen so darstellbar.

Stellenwert (als 2er Potenz): $2^7$ $2^6$ $2^5$ $2^4$ $2^3$ $2^2$ $2^1$ $2^0$
Stellenwert (Dezimal): 128 64 32 16 8 4 2 1
Beispiel: 1 0 1 1 0 0 0 1
Beispiel: 128 0 32 16 0 0 0 1

Es gilt: $[10110001]_2 = 128+32+16+1 = 177_{10}$

 

Hexadezimalsystem:

Eine andere gebräuchliche Darstellung ist das Hezadezimalsystem (16er System):

Hier werden immer 4 Bits zusammengefasst; es gibt $2^4 = 16$ Möglichkeiten.

Die Ziffern des Hexadezimalsystems sind:

Dual 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Dezimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Beispiel: $[10110001]_2 = [1011\quad 0001]_2=\qquad11_{10} \quad 1_{10}\qquad= \qquad B_{16}\quad 1_{16}\qquad= B1_{16}$

Übungen:

1. Aufgabe: Wandele folgende Dual-Zahlen in das Dezimal- und Hexadezimal-System um:

  1. 1001 0101
  2. 0010 0110
  3. 0111 0010

2. Aufgabe: Wandele folgende Hexadezimal-Zahlen in das Dezimal- und Dualsystem um:

  1. E2
  2. AF
  3. 14